离散数学

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一、选择题¶

下列句子中，（）是命题。
A . 2 是常数
B. 这朵花多好看啊！
C. 请把们关上！
D. 下午有会吗？

A
命题是能判断真假的陈述句
B 是感叹句、C 是祈使句，D 是疑问句

令 p: 今天下雪了，q: 路滑，r：他迟到了。则命题 “下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）
A. p∧q→r
B. p∨q→r
C. p∧q∧r
D. p∨q↔r

A
运算优先级为 ¬，∧， ∨，→，↔，
A 可看成 (p∧q)→r

令 p：今天下雪了，q：路滑，则命题 “虽然今天下雪了，但是路不滑” 可以符号化为（）
A. p∧¬q
B. p∧q
C. p∨¬q
D. p→¬q

A

设 P(x):x 是鸟，Q(x):x 会飞，命题 “有的鸟不会飞” 可符号化为（ )
A. ¬(∀x) ( p(x) →Q(x) )
B. ¬(∀x) ( p(x) ∧ Q(x) )
C. ¬(∃x) ( p(x) →Q(x) )
D. ¬(∃x) ( p(x) ∧ Q(x) )

A
有的鸟不会飞，即可译为不是所有鸟都会飞
在全称量词∀后面用→联接词
在存在连词∃后面用 ∧ 联接词

设 p(x):x 是整数，f(x):x 的绝对值，L(x,y):x 大于等于 y；命题 “所有整数的绝对值大于等于 0” 可以符号为（）
A. ∀x(p(x) ∧ L(f(x),0) )
B. ∀x(p(x)→L(f(x),0) )
C. ∀xp(x) ∧ L(f(x),0)
D. ∀xp(x)→L(f(x),0)

B
所有整数的绝对值大于等于 0，用到的为全称量词∀，整个命题应该是同一个 x，在全称量词∀后面用→联接词，所以整个命题可符号为∀x(p(x)→L(f(x),0) )

设 F(x):x 是人，G(x):x 犯错误，命题 “没有不犯错误的人” 符号为（）
A. ∀x(F(x) ∧ G(x) )
B. ¬∃x(F(x) →¬G(x) )
C. ¬∃x(F(x) ∧ G(x) )
D. ¬∃x(F(x) ∧ ¬G(x) )

D
A 和 B 的联接词使用错误
D，不存在人不犯错误

下列命题公式不是永真式的是（ A ）
A. (p→q)→p
B. p→(q→p)
C. ¬p∨(q→p)
D. (p→q)∨p
设 R(x):x 为有理数; Q(x):x 为实数。命题 “任何有理数都是实数” 的符号化为 ( C )
A.(彐 x) ( (R(x)∧Q(x) )
B.(∀x)( (R(x)∧Q(x) )
C.(∀x)( (R(x)→Q(x) )
D. 彐 x(R(x)→Q(x) )
设个体域 D={a,b}, 与公式∀xA(x) 等价的命题公式是 ( A )
A. A(a)∧A(b)
B. A(a)→A(b)
C. A(a) ∨ A(b)
D. A(b)→A(a)

已知个体域，消去量词，∀xA(x) 中有全称量词，则把所有 x 的取值全列出来
应该为 A(a)∧A(b)

下列等价式不正确的是 (A)
A. ∀x((P(x) ∨ Q(x) ) ⇔ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
B. ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ⇔ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
C. ∃x(P(x) ∨ Q(x) ) ⇔ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
D. ∀x(P(x)∧Q) ⇔ ∀xP(x)∧Q

A

设个体域 D={a,b}, 与公式彐 xA(x) 等价的命题公式是 ( C )
A.A(a) ∧A(b
B.A(a)→A(b)
C. A(a) ∨ A(b)
A(b)→A(a)
设 X={Ø,{a}{a,Ø}}, 则下列陈述正确的是 (
A. a∈X
B. {a,Ø}⊆X
C. {{a,Ø}}⊆X
D. {Ø}∈X

C
元素与集合的关系用属于
集合与集合的关系用包含
A 中用的是属于，但 a 不是 X 的元素，因为需要把整个集合 {a} 看成 X 的一个元素
B 用的是属于，说明得把 {a,Ø} 看成一个集合，a 和 Ø 都得是 X 的元素，a 不是 X 的元素，所以不正确，也可解释作 {a,Ø} 只是 X 的一个元素，并不是指一个集合
C 正确，有两重括号，第一个括号内的 {a,Ø} 就是 X 的一个元素，{{a,Ø}}就是 X 的一个子集
D 中用的是属于，说明整个 {Ø} 被看成是一个元素，但 X 中只有 Ø 而没有{Ø}

有向图 D 是连通图, 当且仅当 ( D ）
A. 图 D 中至少有一条通路
B. 图 D 中有通过每个顶点至少一次的通路
C. 图 D 的连通分支数为一
D. 图 D 中有通过每个顶点至少一次的回路

D
这里的连通图应该指的是强连通图
对 C 要特别注意一下，有第一章的命题逻辑我们知道 “当且仅当” 指的是充要条件，连通图的连通分支数确实为一，但连通分支数为一的并不代表是连通图，所以 C 是错的

设 A={a,b,c}, 则下列是集合 A 的划分的是 ( B)
A. {{b,c},{c}}
B. {{a},{b,c}}
C. {{a,b},{a,c}}
D. {{a,b},c}

B

我们可以知道π是一个子集族，里面都应该是子集，D 错误
然后每个子集不能有重复的元素，AC 错误

下列谓词公式中是前束范式的是 (D)
A. ∀xF(x)∧¬(∃x)G©
B. ∀xP(x) ∧ ∀yG( y)
C. ∀x(P(x)→∃yQ(x,y)
D. ∀x∃y(P(x)→Q(x,y))

D
前束范式就是所有的量词都在前面

设 M={x | f1(x)=0},N={x | f2(x)=0}, 则方程 f1(x)*f2(x)=0 的解为（ B　）　
A. M∩N
B. M∪N
C. M⊕N
C. M-N

f1(x)*f2(x)=0 只有 = 要有一个为 0 其结果就为 0
显然是 M 和 N 的并集

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
设 G 是一个群，则

G 满足消去律（左消去和右消去），即∀a,b,c∈G, 若 ab=ac, 则 b = c
任意一个元素的逆元的逆元是其本身, A 正确
(ab)^-1 = b ^-1 * a ^-1, C 错误
其余请看群的详细介绍
在整数集合 Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（）
A. a_b=b+1
B. a_b=a-1
C. a_b=ab-1
D. a_b=a+b+1

D
如果满足结合律，则 (a*b)*c=a*(b*c)

设简单图 G 所有的结点的度数之和为 50，则 G 的边数为（）
A. 50
B. 25
C. 10
D. 5

B
既不含平行边也不含环的图为简单图
由握手定理：度数之和为变数的 2 倍，变数为 25

设简单无向图 G 是一个有 5 个顶点的 4 - 正则图，则 G 有（）条边。
A. 4
B. 5
C. 10
D. 20

C
正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图
有题意，度数之和为 5*4=20，边数 = 20 / 2 = 10

设集合 A={1，2，3，4}，A 上的等价关系 R= {<1,1>, <.3,2>,<2,3>,<4,4>} U IA (恒等关系), 则对应于 R 的划分是（）
A. {{1}，{2，3}，{4} }
B. {{1，3}，{2，4} }
C. {{1，3}，{2}，{4} }
D. {{1}，{2}，{3}，{4} }

A
IA 表示恒等关系，设 A={a,b,c}，则其上关系 R={,,}，R 便是恒等关系
本题中 IA 中应该是补齐 <2,2><3,3>，2 和 3 应该被分到了另外一块，应该选 A

D
在数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的元素，则该集合被称为在这个运算下闭合。
比较最大数，得到的结果还是在 A 中
比较最小数，结果还是在 A 中
最大公约数，1 和 10 的最大公约数为 1，L 为任意数字，与其他的数求最大公约数，都可以在 1，2，10，L 中取得
若 L 为 3，3 和 10 的最小公倍数为 30，不在 A 中，D 不是封闭的