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金融经济学背诵部分

定义

金融工程： 运用数理和工程技术的方法设计、开发和实施具有创新意义的金融工具和金融手段，创造性地解决金融问题。

远期：双方规定在未来的某一个时间，以规定的价格买卖一定数量的某种金融资产合约

  • 优势：灵活性很大，规避监管
  • 劣势：没有固定集中交易场所，不利于形成同意市场价格。流动性差、违约风险高

期货合约：指在交易所交易的、双方约定在将来某个状态日期，按照事先确定的条件买入或卖出一定标准数量的特定金融工具的标准化合约。

期权：是一种金融工具，赋予持有人在合约到期日之前或当天以特定价格买入或卖出一定数量基础资产的权利。多头方通常需要向空头缴纳期权费来购买未来按照合约购买资产的权利。对于看涨期权，多头希望买了之后标的资产价格会上涨，而空头希望价格下跌，因为这样多方就不会履约，空头赚取期权费。看跌期权则正相反。

  • 股票指数期权：以股票指数为标的物
  • 外汇期权：以汇率为标的物
  • 期货期权：以期货合约为标的物
  • 利率期权：以利率产品为标的物

互换：是一种金融合约，交易双方在未来一段时期内交换具有不同内容或性质的现金流。互换主要分为货币互换和利率互换，常用于管理利率风险和汇率风险。通过互换，双方可以利用不同的市场条件和利率变化来达到各自的金融目标。

衍生品市场的参与者：

  • 套期保值者：在现货市场已有头寸，介入衍生证券市场是为了通过衍生证券的相反头寸进行风险转移和管理

  • 套利者：参与者认为标的资产现货价格与衍生证券价格之间存在不合理的关系，同时进入现货与衍生产品市场交易，从事套利活动，以获取无风险或低风险的套利收益。

  • 投机者：参与者仅根据自己的预期进入衍生证券市场，利用衍生证券的高杠杆性质进行操作，通过承担风险获取相应的预期风险收益，在市场变动与预期一致时获利，不一致时亏损。

最优套期保值比率：能够最大程度消除被保值对象价格变动风险（由于基差风险的存在，最优套期保值比率几乎不可能为 1）

奇异期权：比常规期权更复杂的衍生证券，在常规期权的基础上加入了条件约束或者增加新的变量等方式。

  • 执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权
  • 在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废。

障碍期权：回报依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平，这个临界值就叫做“障碍” 水平。

亚式期权：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间内的平均价格。

回溯期权：收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价 ），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格

两值期权：其到期回报是不连续的，其中一种是或有现金价值看涨期权。到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额 Q。

计算

复利计算

  1. 季度计的年利率➡️年计的年利率： $$ r_{year}=(1+\frac{r_{quarter}}{4})^4-1 $$

  2. 普通复利➡️连续复利（一年的） $$ r_{连续}=m\ln(1+\frac{r_{m}}{m}) $$

远期和期货的定价

下面都以多头来说，空头的价值就是多头的相反数

  1. 无红利资产 $$ \begin{align} f&=S-Ke^{-r(T-t)}\ F(当前合约价值为0时候的期货价格)&=Se^{r(T-t)} \end{align} $$

  2. 有红利资产（可以计算红利的折现值 I 的） $$ F=(S-I)e^{r(T-t)} $$

  3. 支付已知红利率的资产定价 $$ F=Se^{(r-q)(T-t)} $$

套期保值比率

  1. 套期保值比率 $$ n=\frac{套期保值资产头寸出数量}{被套期保值资产头寸出数量} $$

  2. 最小方差套期保值比率 $$ n=\rho_{HG}\frac{\sigma_H}{\sigma_G} $$ 其中 H 是指现货，G 是指期货

  3. 应持有的期货合约份数 $$ \large N=n\times\frac{\text{现货资产总值}}{\text{单份期货合约的价值}}\tag{股指期货常用}\ \large N=n\times\frac{\text{现货资产总量}}{\text{每份期货合约代表的单位量}} $$

  4. 用 \(\beta\)

期货的定价

  1. 股指期货的定价（支付已知红利率）\(F=Se^{(r-q)(T-t)}\)

  2. 直接外汇远期

定义本币利率为 \(r\)，外币利率 \(r_f\)，那么定价公式为 $$ F=Se^{(r-r_f)(T-t)} $$

  2. 远期利率协议 FRA：

通过即期利率推导远期利率：当前时间为 \(t\) 预计算 \(T\) 到 \(T^*\) 的远期利率 \(r_F\)，这两段对应的即期利率分别为 \(r\) 和 \(r^*\)，有 $$ r_F\left(T*-T\right)=r\left(T^-t\right)-r\left(T-t\right) $$ 也就是 $$ r_F=\frac{r*(T-t)-r(T-t)}{T^-T} $$

远期利率协议的价值，rK 协议利率，rf 为市场远期利率（实际），这里注意括号内为远期利率的期限差距，而括号外为折线，即 T/t 的区别 $$ (Ae{r_k(T-T)} - Ae{r_f(T-T)})e{-r(T^-t)} $$

互换的定价

  1. 利率互换的定价

  2. 债券组合方法：将利率互换视为两个债券的组合：一个是固定利率债券，另一个是浮动利率债券

    • \(B_{\mathrm{fix}}\:=\sum_{i=1}^{n}k\mathrm{e}^{-r_{i}t_{i}}+A\:\mathrm{e}^{-r_{n}t_{n}}\)
    • \(B_{\mathrm{fl}}=(A+k^*)e^{-r_1t_1}\) 其中 \(k^*\) 是利用上一次浮动利率算的利息值

    对于互换多头（支付固定利率）利率互换的价值为 \(V=B_{fl}-B_{fix}\)；

  3. FRA 组合方法：通过将利率互换视为一系列的远期利率协议即未来的利率支付合约。

    浮动利率通过 LIBOR 即期利率通过远期利率公式进行计算，最后计算差值 $$ \text{现值}=\text{名义本金}\times\left(e^{\text{固定利率}\times t_i}-e^{\text{远期利率}\times t_i}\right)\times e^{-\text{贴现率}\times t_i} $$ 并累加

  4. 货币互换的定价

  5. 运用债券组合（一份外币债券和一份本币债券的组合）为货币互换定价

    • \(V_{互换}\)：货币互换的价值
    • \(B_{F}\)：用外币表示的从互换中分解出来的外币债券价值
    • \(B_{D}\)：从互换中分解出来的本币债券的价值
    • \(S_{0}\)：即期汇率
    • 对于收入本币利息，付出外币利息：\(V_\text{互换}=B_D-S_0B_F\)
    • 付出本币利息，收入外币利息：\(V_\text{互换}=S_0B_F-B_D\)
  6. 远期外汇协议定价法：货币互换还可以分解成一系列远期汇率合约的组合。

期权

  1. 期权价值 $$ 期权价值=内在价值+时间价值 $$

  2. 内在价值：\(\(max\{S-Ke^{-r(T-t)},0\}\)\)，可以根据是否有红利调整 S

  3. 看涨看跌期权平价关系 PCP $$ C-P=S-Ke^{-r(T-t)} $$ 其中 C 是看涨，P 是看跌

期权定价

  1. 标准布朗运动（维纳过程）

需要满足：连续随机过程 \(z_t\) 的增量互相独立；增量在小间隔内服从正态分布 $$ dz_t=\varepsilon\sqrt {\Delta t} $$ 其中 \(\varepsilon\) 代表从标准正态分布中取的一个随机值；此外对于不同的 \(\Delta t\) 有 \(\Delta z\) 的值相互独立

因此 T-t 间隔的变量改变，可以看作 N 个 \(z_t\) 增量的和： $$ Z(T) - Z(t) = \sum_{i=1}^n \epsilon_i \sqrt{\Delta t} $$ \(Z(T) - Z(t)\) 也服从正态分布

  • 均值等于 \(0\)
  • 方差等于 \(T - t\)
  • 标准差等于 \(\sqrt{T - t}\)

  • 方差可加性

  • 普通布朗运动

  • \(\Delta x=a\Delta t+b\varepsilon\sqrt{\Delta t}\) 即 \(x(t)=x_0+at+bz(t)\)

  • 是关于时间和标准布朗运动的过程，a 为漂移率指的是单位时间内变化量的均值，b 为波动率

  • 符合正态分布，均值为 \(a\Delta t\) 标准差为 \(b\sqrt{ \Delta t }\)

  • 标准布朗运动是普通布朗运动的特例 (\(a=0\) ​)

  • 伊藤过程

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 \(x\) 的漂移率和方差率当作变量 \(x\) 和时间 \(t\) 的函数，我们就可以得到 $$ dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz $$

这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，\(dz\) 是一个标准布朗运动，\(a, b\) 是变量 \(x\) 和 \(t\) 的函数，变量 \(x\) 的漂移率为 \(a\)，方差率为 \(b^2\)。

  1. 几何布朗运动：股价的变化过程

证券的变化可以使用漂移率为 \(\mu S\) 波动率为 \(\sigma S\) 的伊藤过程（几何布朗运动来表示） $$ dS=\mu Sdt+\sigma Sdz $$ 原因：

  • 可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题

  • 几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。

几何布朗运动下股票的价格概率分布 $$ \ln S_{T}\sim\:\phi[\ln S+(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2})(T-t),\sigma\sqrt{T-t}] $$

  • \(\begin{aligned}&E(S_{T})=Se^{\mu(T-t)}\\&\operatorname{var}(S_{T})=S^{2}e^{2\mu(T-t)}[e^{\sigma^{2}(T-t)}-1]\end{aligned}\)
  • 其中 \(\mu\) 为几何布朗运动中的期望收益率，\(\sigma\) ​ 为证券价格的年波动率又是股票价格对数收益率的年标准差，都是定值

Black-Scholes-Merton 期权定价公式

  • 无收益资产欧式看涨期权的定价公式 $$ c=\mathrm{SN}(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2) $$ 其中 \(S\) 为标的资产当前价格 \(X\) 为期权的行权价格 \(N()\) 为标准正态分布的累积分布函数

其中 $$ d_1=\frac{\ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} $$

$$ d_{2}=\frac{\ln(S/X)+(r-\sigma^{2}/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t} $$

标的资产无收益的美式看涨期权计算公式相同

  • 无收益欧式看跌期权 \(p=Xe^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1)\)

  • 有红利的欧式期权

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二叉树期权定价

\[ p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}\tag{p是上涨的概率} $$ $$ u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} $$ $$ d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} \]
  • 期权价格为： $$ f = e^{-r \Delta t} \left[ p f_u + (1 - p) f_d \right] $$

希腊字母

  1. Delta

  2. 无收益欧式看涨期权：\(\Delta=N(d_1)\in[0,1]\)

  3. 无收益欧式看跌期权：\(\Delta=-N(-d_1)=N(d_1)-1\in[-1,0]\)

  4. 支付已知红利率 \(q\) 的欧式看涨期权：\(\Delta=e^{-q(T-t)}N(d_1)\)

  5. Gamma

  6. 无收益资产欧式期权有 $$ \Gamma=\frac{e{-0.5d_12}}{S\sigma\sqrt{2\pi(T-t)}} $$

  7. 期权买方的 Gamma 都是正的！