笔记

60 分选择+20 分计算+20 分综合题干为英文/中文

常用英语词汇¶

期权（Option）
期货（Futures）
合约（Contract）
空头（Short Position）
多头（Long Position）
看涨期权（Call Option）
看跌期权（Put Option）
波动率（标准差）（Volatility）
标准差（standard deviation）
收益率（Yield）
标的资产（Underlying Asset）
执行价格（Strike Price）
到期日（Expiration Date）
对冲（hedge）
股票（equities）
半年期（semiannual）
票面价值（par value）
久期（duration）
凸度（convexity）
违约概率（PD，Probability of Default）
违约损失率（LGD：Loss of Given Default）
违约回收率（RR，Recovery Rate）
信用风险暴露（EAD，Exposure at Default）
买卖价差比率（spread）
内生（endogenou）
外生（exogenous）
相关系数（correlation）
协方差（covariance）
债券（bond）

绪论¶

风险：指未来收益的不确定性
金融风险：指金融资产组合未来收益的不确定性
- 前中后台模式，独立的中台负责风险监控和管理，分工明确，并且独立管理保证可靠减少违规风险
风险管理基本流程：识别-度量-控制-检测
- 风险控制包含：风险规避、风险分散、风险转移、风险保留
资本金：资产-负债（即股东权益）
资本充足率：资本金/总资产
- 反映商业银行在资产遭到损失之后，该银行能以自有资本承担损失的程度。
巴塞尔协议定义了国际统一的资本监管规则，解决资本充足率定义不同、要求不同的问题
- 新资本充足率=资本（核心资本：股东权益+附属资本：长期次优先级债券）/风险调整之后的总资产（如风险加权法）
监管资本：监管机构要求金融机构必须计提的强制性资本要求
- 反映监管部门对当地金融机构平均风险水平的估计，不能准确反映单个商业银行真实风险状况
- 监管资本金=风险调整后总资产 $\times$ 监管机构规定的最低资本充足率
经济资本：与商业银行真实风险水平对应的资本金
- 根据分布的平均损失为 A，这部分的损失是确定的，称为预期损失，计入经营成本并通过定价转移（如反映在带宽利率）
- C%置信水平下的最大可能损失 B （$VaR_c$）与 A 的部分就是非预期损失（这部分风险才是需要重点关注的）。经济资本用于覆盖这一部分的损失，即一定置信水平下的最大可能损失-预期损失
经济资本=一年展望期内一定置信水平下的最大可能损失- 预期损失
- 不需要实际计提，在设定风险限额（一定置信水平下最大可能损失不能超过限额）或者进行绩效评估时，概念意义下予以计算和分配的金额。
绩效评价 RAROC 风险调整后资本金回报率
- RAROC=(收入-费用-预期损失)/经济资本（未预期损失）
- 使用风险调整后的利润而不是会计利润
- 衡量承担风险时回报的多少
- 如果业务单元的 RAROC 低于其权益资本成本，这意味着业务单元没有达到股东的期望回报率，未能为股东增加价值。股东期望回报率通常由权益资本成本衡量，如果 RAROC 低于这个成本，说明业务的回报不足以弥补所承担的风险。
金融风险的分类（驱动因素）
- 市场风险：由于市场价格变量（股票价格、汇率、利率、衍生品价格和商品价格等）的变化或波动而引起的资产组合未来收益的不确定性。
- 信用风险：由于借款人或交易对手不能或不愿履行合约，或信用质量发生变化而影响金融产品价值，从而给债权人或金融产品持有人造成损失的可能性。
- 操作风险：由于内部流程、人员、技术和外部事件的不完善或故障造成损失的风险
- 流动性风险：市场流动性或称交易流动性：金融资产在市场上变现的能力，即与现金转换的难易程度；融资流动性：金融机构满足资金支付需求（偿还到期债务）的能力。
  - 流动性风险是指因流动性不足而导致资产价值在未来产生损失的可能性。
- 国家风险：在跨国金融活动中，由于外国政府的行为的不确定变化而导致经济主体未来收益变化的不确定性。分为政治风险、经济风险。
- 关联风险：因相关产业或相关市场的变化而导致经济主体未来收益变化的不确定性。
系统风险 ：由影响整个金融市场的风险因素引起，使所有经济主体都共同面临的未来收益的不确定性。
非系统风险 ：仅由与特定公司或行业相关的风险因素引起，使该公司或行业自身面临的未来收益的不确定性。

衍生品的风险管理希腊字母¶

期权定价公式（BS 公式）：
得到期权价格的影响因子（风险因子）：$S$ 标的资产价格，$\sigma$ 标的资产波动率，$\gamma$ 无风险利率，$t$ 时间
通过泰勒展开展示期权价值变化与风险因子的关系

Delta¶

$Delta=\frac{\partial V}{\partial S}$ - 线性产品：价值变化与基础产品的价值变化有某种线性关系，线性产品的风险很容易被对冲 - 远期、期货及互换都是线性产品，而期权不是，期权是非线性产品。 - 当前黄金价格为每盎司 800 美元，组合当前价值为 117000 美元；假定黄金价格增加 0.1 美元每盎司，组合的价格变为 116900 美元，触发交易组合损失 100 美元；则组合的黄金价格敏感性（$Delta$）为 $Delta=\frac{\partial V}{\partial S}=-\frac{100}{0.1}=-1000$ - 交易员可以买入 1000 盎司黄金来消除 $Delta$ 风险，使新交易组合的 Delta 为0。 - 这样的策略为 Delta 对冲，新组合被称为 Delta 中性 - 若 $Delta=0$ 表示组合没有 $Delta$ 风险，对于线性产品，期初为中性的产品会随着时间推移仍然保持中性 -

非线性产品：价值变化与基础产品的价值变化有某种非线性关系。
如不付红利的欧式看涨期权有 $\text{Delta= }{\partial c/\partial S=N(d_1)}$
- 看涨期权多头的 $Delta$ 为正，看跌期权的为负
对于非线性产品，必须不断调整对冲状态，才能保证 Delta 中性。这被称作动态对冲
对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，而在价格上升后股票被买入，这正是所谓的“买高卖低”。总成本非常接近于期权的理论价格。

Gamma¶

$Gamma=\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$ - Delta 中性只能在标的资产价格变化幅度很小时提供保护 - 当变化幅度很大时，$Gamma$ 的影响增大。因此，即使投资组合在初始时是 Delta 中性的，标的资产价格的较大变化会使组合偏离中性状态。即二阶偏导不再可以被忽略。 - Gamma 对冲：假设原 Delta 中性组合的 Gamma 为 $\Gamma$，另有一交易所期权的 Gamma 为 $\Gamma'$，则将 $\mathsf{WT}=-\Gamma/\Gamma’$ 数量的交易所期权加入组合中，产生的新交易组合的 Gamma 为0。但新组合的 Delta 不再为0：交易员在每个交易日结束时会保证交易组合 Delta 中性或接近中性；Gamma 会得到监测，但并不是每天都得到调整。 - 要注意：期货、标的资产只能影响 Delta，期权才能用于对冲 Gamma - 期权（不论看涨、看跌）多头方的 Gamma 为正；空头方为负 -

Vega¶

$Vega=\frac{\partial P}{\partial\sigma}$ - 交易组合价值 P 变化与标的资产价格波动率变化的比率 - 一个 Gamma 中性的交易组合一般不会是 Vega 中性，投资人想使交易组合同时达到 Gamma 中性和 Vega 中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同的衍生产品。 - - 期权多头方（不论看涨、看跌）的 Vega 为正 -

Theta¶

$Theta=\frac{\partial V}{\partial t}$ - 是在其他条件不变的情况下，交易组合的价值变化与时间变化的比率，Theta 常常被称为投资组合的时间损耗。 - 期权的 Theta 值通常为负，这意味着，在标的资产价格和波动率不变的条件下，随着期权期限的接近，期权价值会下降。

Rho¶

$Rho=\frac{\partial V}{\partial r_{f}}$ - 交易组合的价值变化与利率变化的比率。

作业题目¶

- 初始 Delta：0.5739，对冲股票数量：20,000 * 0.5739 = 11,478股
- 新的 Delta：0.7040，需要对冲的总 Delta = 20,000 * 0.7040 = 14,080股
- 需要新增的股票数量 = 14,080 - 11,478 = 2,602股
这个是属于非线性的 Delta 对冲，因此要利用 BS 公式的 Delta 对冲 $$ Delta=N(d_1)\ d_1=\frac{\ln(50/49)+(0.05+\frac{0.2^2}{2})(0.25)}{0.2*\sqrt{0.25}}=0.377 \N(0.377)=0.648 $$
买100000*0.648个来对冲 delta

利率风险管理¶

久期模型¶

固定收益证券交易员投资于某 T 年期息票债券，假设该债券每年付息一次，第 t 年的本息合计为 $C_t$ ，r 为市场利率。久期用于衡量债券价值对风险因子（利率）的敏感程度，同时综合体现时间跨度和流量大小。
（麦考利）久期表示市场利率变动 1%所引起的固定收益证券价值变动的百分比。
- 分母为未来各期现金流的现值之和。分子为未来各期现金流的现值乘以收到这笔现金流的期数（回收期），然后求和。久期是用加权平均法计算的平均回收期。
- 进一步推导：久期就是各期现金流抵补最初投入的平均时间（因此注意，久期是一个正数，因为通常市场利率越高，债券价格越低，因此通过添加一个负号来保证是正数）
修正久期：$D^*=-\frac{1}{P}\frac{{dP}}{dr}=\frac{D}{1+r}$ 即 $d_{P}=-D^*Pd_{r}$
- 用于直接衡量市场利率变化一单位对债券价格的影响。
久期主要用于衡量债券的平均持有期。
修正久期则直接用于估算利率变化对债券价格的影响。
久期对冲：通过调整资产和负债的久期，使得整个投资组合对利率变化的敏感度最小化。久期对冲的基本原理是使资产和负债的久期相等，以减少利率变动对投资组合价值的影响。
- 组合的久期符合 $\sum_{i}^n w_{i}D_{i}$
- 投资组合的美元久期=7500万×9=675,000,000
- 期货合约的美元久期=8×100,000×104.40625/100=835280
- $\text{对冲比率}=\frac{675,000,000}{835280}=809$
有效久期：通过数值直接计算久期（修正久期），不能得到完整现金流是使用
- $D^{E}=\frac{P_{-}-P_{+}}{2P\cdot\Delta r}=\frac{P(r-\Delta r)-P(r+\Delta r)}{2\cdot P(r)\cdot\Delta r}$
- $\text{Effective Duration}=\frac{127.723-122.164}{2\times125.482\times0.003}=7.38$
- 在实际应用中，有时候修正久期和有效久期的计算方法会被混用，因为它们的数学形式非常相似，尤其是在没有嵌入期权或复杂现金流的情况下，这两者可以得到相似的结果。

凸度模型¶

久期模型当利率变动较大时不能很好的检测价值变动
- 久期求出的是一点的斜率，当利率（自变量）变化较大时与实际值会存在较大的差异 $\Delta P\approx-D\cdot P/(1+r)\cdot\Delta r$
- 核心公式：$\Delta P\approx-D^*\times P\times\Delta r+\frac12\times\text{Convexity}\times P\times(\Delta r)^2$
- 免疫策略：使得久期和凸度均为 0 ，此时组合价值不受利率变动影响。

使用久期和凸度控制债券的风险¶

债券组合的久期和凸度有线性性质
- 假设有 $N$ 只证券，则 $D=\sum^N_{i}(D_{i}w_{i})$，$C=\sum^N_{i}(C_{i}w_{i})$ 其中 $w_{i}=\frac{p_{i}}{p}$
风险控制策略：调整资产权重，使得组合的久期等于特定值（比如 4, 即期望 4 年回收成本），同时凸度最小（波动即风险最小）
即求解最小化问题：

久期缺口模型¶

资产净值等于资产现值减去负债现值 $NW=P_{A}-P_{L}$
利率变动时有 $\Delta NW=\Delta P_A-\Delta P_L$
由 $\Delta P=-\left( D\frac{P}{1+r} \right)\Delta r$ 得 $\Delta NW=-(D_AP_A-D_LP_L)\times \Delta r/(1+r)$
进一步 $\Delta NW=-\frac{\Delta r}{1+r}D_{Gap}P_A$，其中 $D_{Gap}=D_A-uD_L(u=P_{L}/P_{A})$
久期缺口越大，金融机构面临的利率风险越大
当久期缺口为正时，净值随市场利率上升而下降；当久期缺口为负时，净值随市场利率上升而上升，下降而下降；当久期缺口为零时，净值在利率变动时不变。
利率免疫策略: 使久期缺口为零
- 当银行把有效期缺口控制为零时，能有效地规避利率风险，达到“免疫”的效果。

利率曲线的非平行移动¶

利率曲线是某一时点即期利率与到期期限所决定的点的连线。
久期和凸度模型使用了利率曲线的平行移动假设：久期用于近似计算利率变动对债券价格的影响，假设利率变动是统一的，有一个固定的变化。
利率曲线的非平行移动
局部修正久期：考虑一个时间点的利率发生变化，而不是所有利率同时相同变换的情况 $D_{i}^{*}=-\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r_{i}}\approx-\frac{1}{P}\frac{\Delta P_{i}}{\Delta r_{i}}$
使用局部修正久期计算利率的非平行移动对组合价值的影响
关键利率久期：利率曲线上每一点都是影响债券价值的风险因子，但不是所有风险因子同等重要，即某些时期利率变动的概率或者幅度高于其他时期利率这就是关键时期利率。$\text{关键利率久期}=\frac{P_\text{原始}-P_\text{调整}}{P_\text{原始}\times\Delta r}$ (类似于有效久期的求解)
- 只给出几个关键年的变化，计算对附近年份的线性贡献关系
- Key rate '01是指在某个特定到期时间的利率变化1个基点（0.01%）对债券价格的影响 $\text{Key rate '}01=\Delta P$

再定价模型¶

商业银行具有存短贷长的特点，因而面临比较大的利率风险。
再定价模型：在计算再定价缺口的基础上，分析利率变动对金融机构净利息收入的影响。
基于缺口分析报告，分析利率变动的影响
- 预期 1 年期市场利率上升时，银行可主动营造正缺口，以达到扩大净利息差额（收入）的目的。可通过缩短资产到期日，延长负债到期日，增加利率敏感性资产，减少利率敏感性负债实现。
- 预期 1 年期市场利率下降时，银行可主动营负缺口，以达到扩大净利息差额（收入）的目的。可通过延长资产到期日，缩短负债到期日，减小利率敏感性资产，增加利率敏感性负债实现。

作业题目¶

- 首先得到每年支付的票息 $C=1000\times 10\%=100$
- 计算债券的现值：$PV=\frac{100}{(1+0.05)^1}+\frac{100}{(1+0.05)^2}+\frac{1100}{(1+0.05)^3}=1136.16$
- 计算时间加权现值 $PV=\frac{1\times100}{(1+0.05)^1}+\frac{2\times100}{(1+0.05)^2}+\frac{3\times1100}{(1+0.05)^3}=3127.3$
- 修正久期为 $\frac{1}{1+0.05}\times \frac{3127.3}{1136.16}=2.62$
- 另一种计算方式，使用 $\text{Modified Duration}=\frac{\Delta P/P}{\Delta y}$
- $\large\text{Modified Duration}=\frac{0.5/105.8}{0.0005}=9.4$
- 根据公式 $\Delta P=-\mathrm{D}_{{\mathrm{mod}}}\times P\times\Delta y$ 进行计算
- \[\begin{aligned}\Delta P_{1}&=-7.5\times4,000,000\times0.001=-30,000\\\Delta P_{2}&=-1.6\times2,000,000\times0.001=-3,200\\\Delta P_{3}&=-6.0\times3,000,000\times0.001=-18,000\\\Delta P_{4}&=-1.3\times1,000,000\times0.001=-1,300\end{aligned}\]
- $\Delta P_{\mathrm{total}}=-30,000+-3,200+-18,000+-1,300=-52,500$
- 由公式：$\Delta P\approx-D_{\mathrm{mod}}\times P\times\Delta y+\frac12\times\text{Convexity}\times P\times(\Delta y)^2$
- $\Delta P=-9.8\times 78.75 \times -0.015+\frac{1}{2}\times130\times78.75\times(0.015)^{2}=12.73$
- 即新价格为 $78.75+12.73=91.48$
- 折价债券：当一只债券开始以折价交易时，由于折现率上升，债券的久期会减少。
- 溢价债券：当一只债券开始以溢价交易时，由于折现率下降，久期会增加。
- 对于一只以面值交易的债券，如果票息率等于市场利率，其久期会随着时间的推移而逐渐减小。久期通常在发行初期最大，然后逐渐减少，尤其是在债券接近到期日时。
- 用定义：$D=-\frac{dP/P}{dr/(1+r)}$，用第一和第二个数据进行计算
- $D=\frac{0.5}{0.05\%}\times\frac{1.0425}{105.8}=9.852$
- $\text{Key rate '}01=\Delta P=24.6642-24.1234=0.5408$
- $\text{Modified Duration}=\frac{0.5408/24.1234}{0.0001}=224.1$
- C
- C：单因子模型的一个主要假设是整个收益率曲线的变化由一个单一的利率决定，即利率变化是平行移动的。
- 用 13 组合与 2 凸度相同的：首先价格相同 $w_s\times102+w_l\times103=101$，久期也相同 $w_s\times4.5+w_l\times14=6$
- 解出 $w_{l}=0.1633 \ w_{s}=0.8367$
- $C\approx29.2845+65.32=93$

Var¶

VaR（在险价值/风险价值）：在给定置信度 $X\%$ 下资产组合在未来持有期 $T$ 内所遭受的最大可能损失 $Prob(\Delta P<-VaR)=1-X\%$
- 将对各种市场风险因子的敏感度压缩成了一个数字，便于风险管理部门对银行的整体风险作出判断。
- 用历史利率变化模拟计算明日损益，排序后根据比率选择

应用¶

风险限额：银行根据 VaR 给交易员分配风险额度，交易员应当使得其持有的资产组合满足银行设定的风险额度。
VaR 的的局限性：VaR 相同时风险也不一定是一样的（可能发生风险会造成更大损失）
预期亏空 ES 是比 VaR 更能使交易员产生好的管理动机的风险度量。
- 预期亏空 ES 是指在持有期 T 内，损失超出了 $X\%$ 分位数的条件下，损失的期望值：$ES=-E[\Delta P\mid\Delta P<-VaR]$，衡量了发生损失时损失的大小
- ES考虑了超过VaR值的损失严重程度，因此通常会给出比VaR更高的风险估计值。这意味着在相同的置信水平下，ES通常会要求更多的经济资本来覆盖潜在的损失。
资本金：VaR 被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量。
- 如对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在 10 天展望期的 99%VaR 的一定倍数
对于资本金计算来说好的风险度量应该满足的性质：
- 单调性：如果在所有的不同情形下，交易组合 A 的回报均低于另一个交易组合 B，那么这里的交易组合 A 的风险度量一定要比另一组合 B 大。
- 平移不变性：如果我们在交易组合中加入 K 数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少 K 数量。
- 齐次性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含资产的数量增至原数量的λ 倍，此时新交易组合的风险应是原风险的λ 倍。
- 次可加性：两个交易组合合并成一个新交易组合的风险度量小于等于最初两个交易组合的风险度量的和。
- VaR 不满足次可加性，预期亏空 ES 满足所有 4个条件
VaR 的优点：更加直观，便于理解

计算原理¶

求解方程 $1-c=Prob(\Delta P<-VaR)=\int_{-\infty}^{-VaR}f(x)dx$
时间展望期的选择取决于组合的流动性
- 银行管理人员通常对市场风险使用 1 天的展望期；
- 银行管理人员通常对对信用风险和操作风险使用 1 年的展望期；
- 养老基金由于交易行为不太活跃，基金经理通常使用 1 个月的展望期。
置信水平的选取通常取决于操作目的和历史数据的可得性：
- 对于市场风险通常取 99%的置信水平，对于信用风险和操作风险通常使用 99.9%；
- 置信度设定得越高，意味着 VaR 值就越大，为保证 VaR 计算的可靠性和有效性，所需要的历史样本数据就越多。

单资产正态分布的 Var 计算¶

假设资产初始价值为 $P_{0}$ 服从正态分布，期望和方差为 $\mu\text{ 和 }\sigma$
在置信度为 $c$ 下有 $VaR_A=P_0(\Phi^{-1}(c)\cdot\sigma-\mu)$ 如果未给出均值，则默认为 0
时间可加性（求解区间）：

资产组合的 Var 计算¶

收益率映射估值法：$\Delta P=P_0\cdot R$
- 利用资产的历史收益率数据，通过统计分析计算资产组合的方差和协方差矩阵，从而估算出在给定置信水平下的最大潜在损失
- 收集历史数据-构建组合收益率模型并计算收益率均值和标准差-进一步计算得到置信水平下的 VaR
风险因子映射估值法：$\Delta P=P_1(f_1+\Delta f_1,f_2+\Delta f_2,...,f_n+\Delta f_n)-P_1(f_1,f_2,...,f_n)$
- 它通过识别和分析影响资产价格的关键风险因子，计算出这些因子变化对资产组合的影响，从而估算出 VaR。
- 识别风险因子并收集相关历史数据-估计因子暴露-构建风险因子模型-模拟风险因子变化情况并计算资产组合在特定执行水平下的 VaR

基于方差-协方差法¶

思想：只需要确定收益率的分布就能确定组合损益的分布 $\Delta P=P_{0}R$，通过组合中每个资产的收益率得到组合的收益率，问题就是通过每个资产的收益率得到总体收益率是很难的
适用于每个资产的收益率服从正态分布的情况

基于历史模拟法¶

标准历史模拟法
- 根据定价公式（证券组合价值与风险因子之间的映射关系），识别风险因子 $\Delta\mathrm{P}=\mathrm{P}(f_{1}+\Delta f_{1},f_{2}+\Delta f_{2},...,f_{n}+\Delta f_{n})-\mathrm{P}(f_{1},f_{2},...,f_{n})$
- 将各个风险因子在过去某一时期上的变化分布或变化情景准确刻画出来，作为该风险因子未来的变化分布或变化情景；
- 在上述基础上借助定价公式，模拟出资产组合未来可能的损益分布
认为风险因子过去的每一种变化情景在明天发生的概率是相同的
加权历史模拟法
- 时间加权历史模拟法：观测值的权重随时间回望期的延伸而指数速度递减: 情形 i 对应的权重为 $\begin{aligned}&\text{}\\&\frac{(1-\lambda)\lambda^{n-i}}{1-\lambda^n}\text{}\end{aligned}$ ，式中 n 为观察值的天数。对于 $99\%$ 置信不再简单的用行号作为比例，而是考虑累计权重为 0.01 的位置
- 波动率加权历史模拟法：
- 对每个 i 计算 V 并排序后按照比率（或时间加权）选择结果
- 具有动态调整权重和过滤极端波动的优势

Monte Carlo 模拟法¶

单变量 Monte Carlo 模拟：以几何布朗运动作为描述股票价格未来走势的随机模型，通过随机抽样模拟出股票价格未来变化的一条样本轨道或路径。
增量表示： $S_{t+(i+1)\Delta t}-S_{t+i\Delta t}=\mu S_{t+i\Delta t}\Delta t+\sigma S_{t+i\Delta t}\varepsilon\sqrt{\Delta t}$
递推表示：$S_{t+\Delta t}=S_t\cdot\exp\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}2\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot\epsilon\right)$
基本过程
- 确定股票初始价格 $S_{t}$，利用历史数据估计出参数 $\mu$ 和 $\sigma$
- 利用计算机生成 $\frac{T}{\Delta t}$ 个相互独立的标准正态随机数 $\varepsilon_{i}$ ，代入上式递推得到股价的时间序列 $S_{t+(i+1)\Delta t}$ 得到股票价格的一条样本轨道
- $S_1=S_0+\sigma S_0\epsilon_1\sqrt{\Delta t}=100.3682$
- $S_2=S_1+\sigma S_1\epsilon_2\sqrt{\Delta t}=99.70$

基于 Delta-Normal 和 Delta-Gamma¶

Delta-Normal ：$\Delta P=P(f+\Delta f)-P(f)\approx\sum_{i=1}^n\frac{\partial P}{\partial f_i}\Delta f_i$ 组合价值的变动可以用风险因子的变动和组合价值对风险因子的敏感程度的乘积来表示。假设风险因子的收益率服从正态分布
估计风险因子收益率的均值向量、协方差矩阵 $r=(r_{1},r_{2},\cdots\cdots,r_{n})=(\frac{\Delta f_{1}}{f_{1}},\frac{\Delta f_{2}}{f_{2}},\cdots\cdots,\frac{\Delta f_{n}}{f_{n}})$ 进一步计算那协方差矩阵 $\sigma_{ij}=\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T}r_{i,-t\cdot\Delta t}r_{j,-t\cdot\Delta t}$
- 即求解 $E(r_{i}r_{j})$ ，认为分别的均值为 0
计算灵敏度系数 Delta $\nabla P=(\frac{\partial P}{\partial f_1},\frac{\partial P}{\partial f_2},\cdots,\frac{\partial P}{\partial f_n})^{\prime}$ 这就得到了比例系数（应该会直接给出，不需要会算）
估计组合收益率的分布 (均值、方差)；
最后计算得到 $VaR=P_0\cdot(\Phi^{-1}(c)\sigma_P-\mu_P)$ 再通过 Delta 比例加权得到最终结果
问题：使用简单的移动平均（线性关系），风险因子变化较大时可能存在较大误差
Delta-Gamma：扩展到二阶泰勒展开表示 $\Delta P\approx\sum_{i=1}^n\frac{\partial P}{\partial x_i}\Delta x_i+\frac12\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2P}{\partial x_i\partial x_j}\Delta x_i\Delta x_j$

作业题目¶

- 首先计算一日的波动率：$\sigma_{\text{Alpha, 日}}=\frac{20\%}{\sqrt{252}}\approx\frac{0.20}{15.8745}\approx0.0126$ 和 $\sigma_{\text{Omega, 日}}=\frac{25\%}{\sqrt{252}}\approx\frac{0.25}{15.8745}\approx0.0157$
- 得到组合的波动率 (因为求 VaR 最大值，因此相关系数为 1) $\sqrt{(0.5^{2}\cdot\sigma_{\text{Alpha, 日}}^{2})+(0.5^{2}\cdot\sigma_{\text{Omega, 日}}^{2})+0.5^2\times{2}\times0.0126\times{0}.0157}=0.0144$
- $\mathrm{VaR}=P_{0}\Phi^{-1}(0.95)\cdot\sigma_{\text{组合,日}}=23316$
- $w_{1}=0.42,w_{2}=0.58$
- $\sigma=\sqrt{ w_{1}^2\sigma_{1}^2 +w_{2}^2\sigma_{2}^2}$
- $VaR^2=P^2\sigma^2\phi^2(c)=(w_{1}P\sigma_{1}\phi (c))^2+(w_{2}P\sigma_{2}\phi (c))^2=VaR_{1}^2+VaR_{2}^2$
- 解出 $46445$
- $100\times 5\%=5$ 即寻找第 5 小的，此外要注意 10%的在 10 天后已经超出 100 天的范围，此时前 5 小为：-25%、-9.5%、-7.8%、-6.3%、-4.7%，故结果为 $4.7\%\times 100000000=4.70 million$
- $400*1\%=4$ 即 $800000000\times 1.82\%=14.56 million$
- C
- B
- 参数法假设损失数据遵循某种已知的分布（例如正态分布），并基于这种假设来计算 VaR。这种方法计算快捷，适用于损失分布大致已知且较为稳定的情况。
- 非参数法不依赖于任何分布假设，而是直接从历史数据中估计 VaR。这种方法适用于不确定损失分布形状或存在分布偏度的情况。
- B
- $\mathrm{VaR}_{s}=S_{0}\cdot\Phi^{-1}(c)\sigma_{S}=23\times 1.645\times 0.015=0.567525$
- 进一步 $\mathrm{VaR}_{\mathrm{option}}=\Delta\times\mathrm{VaR}_{\mathrm{stock}}=0.5\times0.567525=0.28$
- C

组合风险来源分析与风险预算¶

组合风险来源¶

边际 $VaR$：M-VaR
组合中资产 $i$ 增加增加 $1$ 美元时，引起的组合 $VaR$ 的变化值 $M-VaR_i=\frac{\partial VaR_A}{\partial P_i}$ 表示 $i$ 资产对组合风险的影响
$M-VaR_i=\Phi^{-1}(c)\frac{\mathrm{cov}(R_i,R_A)}{\sigma_A}=\frac{VaR_A}{P_0}\cdot\frac{\mathrm{cov}(R_i,R_A)}{\sigma_A^2}=\frac{VaR_A}{P_0}\cdot\beta_{i,A}$ 其中 $\beta_{i,A}=\frac{\mathrm{cov}(R_i,R_A)}{\sigma_A^2}=\rho_{i,A}\times \frac{\sigma_{i}}{\sigma_{A}}$
资产 $i$ 的收益率与组合收益率的相关性越大（即资产 $i$ 的系统性风险越大），则该资产对组合风险的贡献越大。
增量 $VaR$：I-VaR
在原先的投资组合基础上，增加或减少一个投资组合对 VaR 的影响 (即头寸变化对 VaR 的影响) $I-VaR=VaR_{A+a}-VaR_{A}$
评估的是一个资产组合对总 VaR 的影响
精确计算：分别计算变化前后的 $VaR$ 之后做差，计算量较大
近似计算方法：使用于新交易的金额较小，但是原足额和金额巨大的情况 $I-VaR\approx\sum_{i=1}^nM-VaR_i\cdot a_i$
成分 $VaR$：C-VaR
从投资组合中删除某成分（资产 $i$）组合 VaR 的的近似变化量 $C-VaR_i=M-VaR_i\times P_{0,i}=(\frac{VaR_A}{P_0}\cdot\beta_{\mathrm{i,A}})\cdot P_{0,i}=VaR_A\cdot w_i\beta_{\mathrm{i,A}}$
评估的是一个资产（成分） 对组合 VaR 的影响
更进一步有 $\sum_iC-VaR_i=VaR_A$ 即所有成分的影响构成了 VaR，在做风险预算时，如果某一成份的 VaR 过高，则需要调整组合。

例：考虑含两种货币——加拿大元（CAD）和欧元（EUR）的投资组合。这两种货币不相关，且相对美元各自有 5%和 12%的波动性。该投资组合有 200 万美元投资与 CAD，100 万美元投资与 EUR。计算 95%置信水平下的组合 VaR。 - 首先计算协方差和 $\beta$ - 计算 M-VaR 和 C-VaR - 调整组合权重，降低风险：基金经理如果想减少组合风险，一般会先找出边际 VaR 最大的资产，并减少其头寸，如此循环此过程，直至所有资产的边际 VaR 相等。（最优化问题） - 在风险和收益之间权衡，选择最优组合（使得夏普比最大的组合）$SR=\frac{E(R_A)-R_f}{\sigma_A}\Rightarrow\frac{E(R_A)-R_f}{VaR_A}$

作业题目¶

- Y 的预期超额收益与边际 VaR 的比率相对较大（夏普比）
- A
- A
- 首先计算组合的 VaR：$\mathrm{VaR}_{\text{组合}}=\Phi^{-1}(95\%)\times\sigma_{\text{组合}}\times\text{总投资}=97384$
- 计算资产 A 的 CVaR：$CVaR_{A}=w_{A}\beta_{A}{V}aR=19477$
- 计算 B 的 MVaR：$MVaR_{B}=\frac{VaR}{P_{0}}\beta_{B}=0.1169$
- A：移除 1 后只剩下资产 2，资产组合的 VaR 就是资产 2 的 VaR（46.6）即减少了 15
- B： $0.44=\frac{\beta_{2}}{200}\times VaR$ 即 $\beta_{2}=1.429$
- 首先计算 $\beta_{XYZ}=\rho_{XYZ,p}\times \frac{\sigma_{XYZ}}{\sigma_{p}}=\frac{0.3\times0.15}{0.12}$
- 计算组合的 $VaR=2.326\times 0.12\times 20000000=5582400$
- $CVaR_{XYZ}=0.375\times 5582400\times 0.25=523350$
- 有方程 $32=\sqrt{(\mathrm{VaR}_{{\mathrm{manager}}}^{2}+\mathrm{VaR}_{{\mathrm{manager}}}^{2}+2\cdot0.5\cdot\mathrm{VaR}_{{\mathrm{manager}}}\cdot\mathrm{VaR}_{{\mathrm{manager}}})}$
- C

回顾测试（评价）¶

评估 VaR 计算方式的准确度
设置一个回测期
- 回测期内某日实际损失超出 VaR，则该日被称为例外
- 如果例外的天数 m 和回测期整体天数 n 的比率 m/n 大于 $p=1-c$，我们认为 VaR 估计值低估了风险（VaR 偏小），因此得出的资本金偏低。
- 如果例外的天数 m 和回测期整体天数 n 的比率 m/n 小于 $p=1-c$，我们认为 VaR 估计值高估了风险，因此得出的资本金偏高。
更好的方法-统计检验
- 损失超过 VaR 的天数符合二项分布
- 有 m 或更多天发生例外的概率为$\sum_{k=m}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\left(1-p\right)^{n-k}$
- 用这 n 个观察日的实际数据计算上述概率。若小于 5%（出现小概率事件），则拒绝原假设，即拒绝该 VaR 模型；若大于 5%，则不能拒绝原假设，即不能拒绝该 VaR 模型。
为了便于计算，将二项分布近似为正态分布
- $Z=\frac{M-pn}{\sqrt{p(1-p)n}}\approx N(0,1)$ ($E(M)=pn\quad V(M)=p(1-p)n$)标准化过程是为了将二项分布的变量 M 转换为标准正态分布的变量 Z，其均值为0，标准差为1，这个过程被称为标准化。
- 判断是否落在正态分布的拒绝域
- 即 $M=z\sigma+\mu$

作业题目¶

- A：显然，ES 就是因为要解决那种收益有异常点的问题，所以不需要满足正态分布假设
- B：但它们并不是完全可以互换的。VaR 只关注在一定置信水平下可能遭受的最大损失，而 ES 则是关注超过 VaR 值的平均损失
- D：显然，ES也需要根据
- B
- $\mathrm{VaR}(T)=\mathrm{VaR}(1)\times\sqrt{T}$
- 分别除以 $\sqrt{ T }$ 比对，只有 A 为 1，其他为 1.2
- $\frac{250*\sqrt{ 10 }}{\sqrt{ 2 }}=5.59$
- 给出的直接是价值，不是比率，因此不再乘以 $P$ 了
- $\mathrm{VaR}_{0.05}=-\mu+z\cdot\sigma=-20+1.645\cdot10=-20+16.45=-3.5$
- 注意为负数D
- 首先对二项分布 $5\%,250$ 求解均值和期望
- $Z=\frac{X-\mu}\sigma=\frac{19-12.5}{3.45}\approx\frac{6.5}{3.45}\approx1.88$ 超过了 $90\%$ 对应的 $1.64$（也就是95单侧检验对应的分位数）
- 故选 D 以检验统计量1.89拒绝

波动率和相关性的估计¶

百分比收益率：$r_i=\frac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}}$
对数收益率：$u_{i}=\ln(\frac{S_i}{S_{i-1}})=\ln(1+\frac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}})=\ln(1+r_i)\approx r_i$
- 由于日收益率较小，因此对数收益率近似于百分比收益率
- 对数收益率还具有时间可加性 $\ln(\frac{S_T}{S_0})=\ln(\frac{S_T}{S_{T-1}}\cdot\frac{S_{T-1}}{S_{T-2}}\cdots\frac{S_1}{S_0})=\ln(\frac{S_T}{S_{T-1}})+\ln(\frac{S_{T-1}}{S_{T-2}})+\cdots+\ln(\frac{S_1}{S_0})$
使用收益利率的比标准差 $\sigma$ 作为资产价格的波动率
假设对数收益率服从正态分布并且每日收益率相互独立，则 T 日波动率可以表示为 $\sigma \sqrt{ T }$
股票收益率通常不服从正态分布，具有尖峰厚尾的性质
隐含波动率：无法从期权公式中直接得到股票价格的波动率，隐含波动率就是从期权价格隐含反推计算出的波动率。可以采用数值方法求解隐含波动率，也可以采用计量方法估计隐含波动率。

监测日波动率模型¶

$\sigma_{n}$ 表示第 $n-1$ 天结束时所估计的资产价格 $S_{i}$ 在第 $n$ 天的额波动率（条件波动率，随时间变化），我们想要监测（预测）的波动率就是 $\sigma_{n}$
标准法就是计算向前 $m$ 天的波动率的标准差$\sigma_{n}^{2}=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(u_{n-i}-\overline{u})^{2}$ 其中 $\overline{u}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}u_{n-i}$
通常可以假设 $\overline{u}=0$（每一天资产变化的期望值远远小于资产价格变化的标准差）得到 $\sigma_n^2=\frac1m\sum_{i=1}^mu_{n-i}^2$
移动加权平均模型 $\sigma_n^2=\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{n-i}^2$ 其中有 $\sum_{i=1}^m\alpha_i=1,\alpha_i<\alpha_j,when\:i>j$ 近期的波动率的权重更大
指数加权移动平均（EWMA）模型 $\sigma_n^2=\lambda\sigma_{n-1}^2+(1-\lambda)u_{n-1}^2$ 即第 n-1 天预测的第 n 天波动率 $\sigma_n^2$ 是由第 n-2 天预测的第 n-1 天波动率 $\sigma_{n-1}^2$ 及最近一天资产价格变化率 $u_{n-1}$ 的数据来决定的。权重向前指数速度下降。
ARCH 模型：在移动加权模型基础上给长期平均方差设定权重 $\sigma_n^2=\gamma V_L+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{n-i}^2$ 其中 $\gamma+\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}=1$
- ARCH 模型刻画了波动持久性 (冲击需要持续一段时间才会消失, 适合于对具有尖峰厚尾特征的收益率建模）
- 问题：需要估计的参数太多
GARCH（1,1）模型：在 EWMA 的基础上赋予长期平均方差一定的权重 $\sigma_n^2=\gamma V_L+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2$ 其中 $\gamma+\alpha+\beta=1$
与 ARCH 一样，GARCH 模型也刻画了波动持久性
- GARCH（p, q）模型：$\sigma_n^2=\gamma V_L+\sum_{i=1}^p\alpha_iu_{n-i}^2+\sum_{j=1}^q\beta_j\sigma_{n-j}^2$
- A还有长期平均方差
波动集聚性：一段时间内波动率都大，一段时间内都小，即几种发生

波动率模型的参数估计¶

最大似然法：选择合适的参数使得数据发生的几率达到最大
来估计 GARCH（1,1）的参数 $\sigma_n^2=\omega+\alpha u_{n-1}^2+\beta\sigma_{n-1}^2$
- 假设变量服从正态分布，那么得到似然函数（先前波动率的发生概率的乘积）$\prod_{i=1}^n\left[\frac1{\sqrt{2\pi\nu}}\exp\left(\frac{-u_i^2}{2\nu}\right)\right]$ 进一步转化为对数似然函数 $\sum_{i=1}^n\left[-\ln(v)-\frac{u_i^2}v\right]$ 目标就是选择参数使得这个乘积最大

作业¶

- 在 EWMA 模型中第 $t$ 天前的观测值的权重为 $\lambda^t\cdot(1-\lambda)$
- 本题中为 $\mathrm{Weight}=0.94^6\cdot(1-0.94)=4.14\%$
- 首先计算对数波动率 $u_{n=}\ln\left( \frac{30.5}{30} \right)=0.01657$
- 接下来使用 EWMA 计算 $\sigma^2_{n}=\lambda \sigma^2_{n-1}+(1-\lambda)u_{t}^2=0.94\cdot0.000225+(1-0.94)\cdot(0.01657)^2$
- A：$\sigma_t\approx1.5096\%$
- D
- 注意：$\beta=\frac{\mathrm{Cov}(R_{\mathrm{stock}},R_{\mathrm{market}})}{\mathrm{Var}(R_{\mathrm{market}})}$
- 首先计算协方差：$\mathrm{Cov}(R_{\mathrm{stock}},R_{\mathrm{market}})=\beta\cdot\mathrm{Var}(R_{\mathrm{market}})=1.2\times0.2^2=0.048$
- 求解相关系数 $\rho_{\text{stock, market}}=\frac{0.048}{0.30\cdot0.20}=\frac{0.048}{0.06}=0.8$
- （return 为收益率，volatility 为波动率）
- 首先计算 t 天的协方差：$\mathrm{Cov}_t=\lambda\cdot\mathrm{Cov}_{t-1}+(1-\lambda)\cdot R_{X,t}\cdot R_{Y,t}$ 代入 $\mathrm{Cov}_{t}=0.92\cdot0.000243+0.08\cdot(0.002\cdot0.025)$
- 计算相关系数：$\rho_t=\frac{0.00022756}{0.0144\cdot0.0294}=0.54$

信用风险¶

违约概率估计¶

历史违约概率¶

使用历史数据来估计债券 $i$ 的违约概率
简单方法：收集同类证券的历史违约信息，历史违约概率就是 $\frac{N_{1}}{(N_{1}+N_{2})}$ 其中 $N_{1}$ 为违约样本数，$N_{2}$ 为未违约样本数，通过机构给出的不同类债券的违约概率进行估计
- 第 $n$ 年的累计违约概率是前 $n$ 年的违约率加和，如第一年未违约但是第二年违约（边际违约概率）的概率为 $0.510\%-0.181\%$
- 第二年的条件违约概率为：$\frac{0.51\text{-}0.181}{1\text{-}0.181}$
- 到第 $i$ 年末的生存概率（一直没违约）$(1-d_{1})(1-d_{2})\dots(1-d_{i})$
Altman’s Z 得分模型：用于评估企业破产或者违约概率。是基于财务指标的违约概率估计方法，首次将数理统计方法引入该领域。
问题在于对数据结果的分析对于不同银行和国家可能由较大区别，需要分别进行分析。

用信用溢差来估计违约概率¶

债券收益率溢差
信用溢差：债券投资人因承担信用风险而索取的高于无风险利率的回报 $\text{债券信用溢差}\approx\text{债券收益率-无风险利率}=违约概率\times 违约损失率$
- （计算的为息票支付和最终本金支付的现值之和）
- Risk-free value 表示债券位于特定时间时的剩余价值，如 3.5 处为 $3+3\cdot e^{-0.05\cdot0.5}+3\cdot e^{-0.05\cdot1}+103\cdot e^{-0.05\cdot1.5}=104.34$
- 通过剩余价值减去可以回收的金额（40）得到损失 (loss), 进一步转化为现值，乘以损失概率（Q），求解 $288.48Q=8.738$
CDS 溢差：CDS 是指信用违约互换，买入方获得对某家公司的信用保险：这里所涉及的某家公司被称为参考实体，这家公司的违约事件被定义为信用事件，CDS 买入方在信用事件发生时有权力将违约公司的债券以债券面值（CDS 的面值）的价格卖给信用违约互换的卖出方；
例子：某公司（A）进入了一个 5 年期的信用违约互换，其面值为 1 亿美元
- 买入方（A）付费为每年 90 个基点（该以本金百分比为计的数量被称为信用违约互换 CDS 溢差），每季度结束支付 $\frac{1e8\times0.009}{4}$，该付款的期限为信用违约互换的到期日或信用事件发生的日期
- 违约发生后有两种处理方式
- 实物交割：入方可要求卖出方以 1 亿的价格买入面值为 1 亿美元的由参考实体发行的债券
- 现金交割：在违约后几天内，确定最便宜的交割债券的市场中间价，比如假设每 100 美元面值合 35 美元（回收率 R=0.35），则卖出方必须向买入方支付 6500 万美元（即 1-R，赔偿损失）
CDS 溢差=债券收益率溢差（债券收益率-无风险利率）
使用 CDS 溢差估计违约概率：
- 投资者进入一个 T 年期的 CDS，债券回收率为 R，CDS 溢差为 s，在没有前期违约的条件下，债券在 t 时刻的条件违约概率满足：$PD\approx\frac{s}{1-R}$，即每一年为独立的，更直观的写为 $s\approx PD\cdot(1-R)=PD\cdot LGD$ 即信用溢差等于违约概率乘以违约损失率

用股价来估计违约概率¶

债券收益率溢差&CDS 溢差法只适用于交易性信用资产，对非交易性信用资产（贷款，未在二级市场流通的债券等）不适用，而本方法可以适用。
Merton 模型
基本假设：
若 $T$ 时刻公司的资产价值 $V_{t}$ 小于负债 $D$，就会存在违约的可能性，即违约概率为 $P(V_T\leq D)$
违约距离 (DTD) $d=\frac{\ln(V_0/D)+(\mu-\frac{\sigma_V^2}2)T}{\sigma_V\sqrt{T}}$ 越小表示违约的概率越大，$\mu$ 不是无风险利率，违约距离和无风险利率是无关的
待估计参数 $V_{0}$ 零时刻总资产价值和 $\sigma_{V}$ 总资产波动率
KMV 模型
KMV 模型是 KMV 公司在 Merton 模型基础上提出的，将违约概率重新定义为 $P(V_T\leq V_{DEF})$，$V_{DEF}$ 为理论上不大于 D 的违约点，通常用短期债务+长期债务的一半替代。
- 负债总额中的长期负债往往能缓解公司偿还债务的压力，KMV 公司通过大量实证发现，公司债务价值一般出在公司债务总值和短期负债之间。
将违约距离计算公式简化 $d=\frac{E(V_T)-V_{DEF}}{E(V_T)\times\sigma_V}$ 违约概率为 $PD=N(-d)$

违约回收率和风险暴露的估计¶

信用风险暴露（EAD）的定义和计量¶

信用风险暴露 EAD 即违约暴露，可能发生违约风险的资金头寸，为资产在有效期内的价值大于 0 的部分 $CE_t=\max(V_t,0)$ 当 t=0 时称为当前风险暴露
期望风险暴露 EE：$EE_t=E[CE_t]=\int_{-\infty}^{+\infty}\max (\nu, 0)\cdot f (\nu) d\nu$
平均期望风险暴露：从当前时刻到到期日 T 这段时间内期望风险暴露的平均值 $EPE=\frac1T\int_{t=0}^TEE_tdt$
贷款和债券的期望风险暴露近似等于面值: 由于市场利率波动，债券的 EE 可能围绕面值有所波动; 由于贷款通常可分期偿付，贷款的 EE 可能随时间下降
远期合约的期望风险暴露随时间 t 增加

违约损失率（LGD）的定义¶

违约回收率是指债券违约时其市场价值与债券面值的比率，$违约回收率=1-违约损失率$

计量方法¶

初级方法

信用损失分布¶

资产 i 的信用损失表示为：$CL_i=b_i\times EAD_i\times LGD_i$, 其中 $b_{i}$ 为是否发生违约的随机变量，$EAD$ 信用风险暴露（处于风险的资产），$LGD$ 为违约损失率
进一步组合的信用损失可以表示为 $CL=\sum_{i=1}^NCL_i=\sum_{i=1}^Nb_i\times EAD_i\times LGD_i$
预期损失 EL：若 $b_{i}$、信用风险暴露、违约损失率不相关: $EL=\sum_{i=1}^NPD_i\times EE_i\times E[LGD_i]$
未预期损失 UL（CVaR）：$CVaR=UL=WCL-EL$，其中 WCL 表示最大可能损失
- 组合的 CVaR 受资产违约相关性的影响：违约相关性提高了一个信用组合出现多个违约的可能性。
- 因为相关系数为 1，没有起到分散风险的作用

cVaR 的计算¶

Credit Risk Plus 模型
- 风险暴露频段分级
- 计算各个频段级贷款的违约概率及损失分布
- 计算 N 笔贷款组合的违约概率和损失分布
- 计算 N 笔贷款组合的信用 VaR
CreditMetrics 模型
- 评级体系的选择与信用
- 根据债务人期末可能转移到的信用等级所对应的信用资产组合价值，建立信用资产组合的价值分布
- 得到一定置信度水平下信用资产组合的 VaR，即信用在险价值或 CVaR。

作业题目¶

- $2\%-0.8\%=60\%\times x$
- 解得 $2\%$
- 因为是估计，所以简化为类似一年期的 $(1-P_{\mathrm{default}})\times(1+Y_{\mathrm{BB}})^2=(1+Y_{\mathrm{T}})^2$
- 解出 $9.91\%$
- 首先求解第一只的收益率 $99=\frac{{4+100}}{1+\frac{y}{2}}$ 得到 $y=10.10\%$
- 再求解第二只 $100=\frac{{9+100}}{1+y}$ 得到 $y=9\%$
- 溢差分别为 $4.6\%$ 和 $3\%$ 故选 A
- 由 $\mathrm{CDS}\text{利差}=(1-\text{回收率})\times\text{违约概率}$
- 代数数据得到 $80\%$ 和 $85\%$ 故选 C
- A：在 Merton 模型中，支付给股东的可以看作是公司价值上的看涨期权，因此这一陈述是错误的。
- B：Merton 模型是一个连续时间模型，假设公司的资产价值随时间连续变化，因此无法捕捉到突然的意外跳跃导致的违约，这一陈述也是错误的。
- C：Merton 模型通常假设违约只在债务到期时发生，而不是在到期之前，因此这一陈述也是错误的。
- D：公司的价值很难确定，因为债务的市场价值通常是未知的。这一陈述是正确的，因为 Merton 模型的一个挑战在于准确估计公司的市场价值，特别是当债务的市场价值不明确时。
- 公司债务和股权的价值可以通过公司的总价值减去债务的价值来计算。如果债务到期时公司价值低于债务面值，公司将违约，股东的权益将为零，债权人将获得公司的全部剩余价值
- 债券面值为5000万美元，到期时公司价值为4000万美元，低于债务面值，因此公司违约。债权人将获得公司的全部剩余价值，即4000万美元，股东权益为零。
- D
- 对于 KMV 模型有公式： $PD=N(-d)$
- 题目给出的1.25%的违约概率对应的 DTD 是-2.24。根据表格信息，违约距离在-2.5到-2.0之间的预期违约频率为1.6%。因此，新的违约概率是1.6%。
- 根据 Merton 模型，公司的股权可以被视为公司资产上的看涨期权。看涨期权的价值受无风险利率的影响。根据 Black-Scholes 期权定价模型，当无风险利率增加时，看涨期权的价值会增加。因此，假设 I 是正确的。
- B
- A、B 项，卖出欧元外汇远期，只有当欧元贬值时才赚钱，面临信用风险；C、D 项，卖期权方已经拿到过期权费了，不存在风险暴露。
- 故选 B
- 只对正的部分求期望：
- C
- 如果新互换的市场利率为6%，固定利率下降，交易员的互换价值应该是正的，因为他们收取的固定利率（7%）高于市场利率（6%）。这个选项是正确的。C
- $EL=0.02\times1000000\times 1=20000$
- $CVaR=3*20000-20000=40000$
- 预期损失是基于违约概率和违约时的损失来计算的，是一个确定的值。增加违约相关性不会改变单个债券的违约概率，也不会改变每个债券的损失金额，因此不会影响预期损失。
- 未预期损失反映了损失的不确定性和波动性。增加违约相关性意味着债券违约的依赖性增强，即如果一个债券违约，其他债券也更有可能违约。这增加了损失的波动性，从而增加了未预期损失。
- D
- 损失$100,000的情况在置信区间内

操作风险¶

操作风险是由于内部流程、人员或系统的不足或失效，以及外部事件引发损失的风险
有 7 种操作风险，业务又被划分为 8 种，因此一共划分为 56 个风险单元
包括法律风险，不包括战略和声誉风险。
分类
- 高频低危损失：如信用卡诈骗
- 低频高危损失：如无赖交易员造成的损失

基本指标法 BIA¶

机构过去三年毛收入的均值乘 15%
毛收入为 $GI=\sum_{t=1}^nGI_t/n$ 只对过去三年中毛收入为正的年份加和求值，进一步得到基本指标 $ORC^{BIA}=GI\times\alpha$ 即毛收入的平均值乘以敏感系数

标准法 SA¶

每种业务类别 (共 8 种)过去三年毛收入平均值乘以该业务部门相应 Beta 因子，然后求和；
$ORC^{SA}=\frac{\sum_{t=1}^3\max[\sum_i(GI_{i,t}\times\beta_{i,t}),0]}3$

高级计量法 AMA¶

对于 56 个风险单元，银行都要估计 1 年期置信度 99.9%的 VaR，然后汇总得到一个单一的 VaR。
主要关注低频高危损失，这部分损失数据较少，估计较为困难
数据来源
- 内部数据：银行自己收集操作风险的数据较少，缺少低频高危损失数据
- 外部数据：数据联盟（银行之间的数据共享机制）：$\text{银行A的损失估计=观测到的银行B的损失}\times(\frac{\text{银行A的营业收入}}{\text{银行B的营业收入}})^\alpha\quad\alpha=0.23$；数据供应商：来源公开发布的数据，但只有较大的损失才会被披露或报道，因此有偏
- 情景分析：生成能够覆盖各种可能的低频高危损失事件的情景
- 业务换将和内部控制因素：这些因素包括业务部门的复杂程度、采用技术的先进程度、变化的快慢、监管的力度、员工更换的频率等。内控越完善，发生大的操作风险损失的可能性越小。通过风险控制自我评估获得
损失分布法LDA
假设 (i, j)是 7×8=56 个风险单元中的任一风险单元，假定在任一时间段内，该单元损失事件的出现是随机的，且某一损失事件与另一损失事件无关、该时间段内损失事件与其他时间段内损失事件无关。此时有 $UL=\sum_i\sum_jUL_{ij}$，如果不是相互独立的则需要使用更为复杂的联合分布来计算
该时间段捏的损失频率和损失强度都是随机变量，得到损失分布 $损失=损失频率\times损失强度$
损失频率：使用泊松分布来表示给定时间段内的损失次数 $P(\text{损失}n\text{次})=\frac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!}$ 其均值为 $\lambda$，还可以使用几何分布、二项分布以及负二项分布
损失强度：使用对数正态分布，概率密度函数为 $g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\frac{1}{2}(\frac{\ln x-\mu}{\sigma})^{2}],\quad x>0$
- 枚举所有可能得发生情况，之后通过损失频率和损失强度的乘积来计算情况的发生概率，之后计算均值得到预期损失（也可以直接使用发生次数乘以损失均值乘以对应概率并求和）
- 之后根据目标比率选中条目,
情景分析法SA：生成低频高危损失情景，可能来自自身经历，以及其他银行获得的损失等
结合方法：比如用损失分布法（LDA）分析损失分布的左尾，用情景分析分析损失分布的右尾（厚尾分布或未预期损失）分段建模
- 或混合银行的历史数据以及请进分析法生成的计算，用于共同计算

极值理论¶

对损失分布均值附近性质的讨论依赖于中心极限定理，对尾部（最大损失）的讨论依赖于极值理论
广义极值分布
- 用历史数据估计广义极值分布的参数，进一步得到广义机制分布的具体形式
POT 模型
- 通过广义帕累托分布反推分布形式

作业题目¶

- C
- 即解方程 $1-\left(\frac{X_{m}}{X}\right)^{k}=0.99$
- 得到 $X=50986$
- 除了形状和尺度（比例）外通常还有一个阈值，只考虑高于这部分的极端损失 B
- 尾部指数（ $\xi$）：尾部指数决定了分布尾部的形状。如果尾部指数增加，尾部变得更重，意味着极端损失事件变得更可能。因此，提高尾部指数通常会增加 VaR 和 ES。
- 损失阈值（$u$）：提高损失阈值意味着我们只考虑更极端的损失事件。因此，VaR 和 ES 的估计值会更高。
- B
- B
- A正态分布适用于建模大量事件的连续数据，通常不适用于建模少量、稀有事件的次数。
- 枚举发生次数，乘以损失期望： $1,000\times0.5+100,000\times0.4+1,000,000\times0.1=140500$
- $\begin{aligned}EL_{0}=0.6\times0=0\\EL_{1}=0.3\times140,500=42,150\\EL_{2}=0.1\times2\times140,500=28,100\end{aligned}$
- $EL_{\mathrm{total}}=EL_0+EL_1+EL_2=0+42,150+28,100=70,250$

流动性风险¶

流动性：
- 市场流动性（交易流动性）：金融资产在市场上变现的能力，即与现金转换的难易程度
- 融资流动性：金融机构满足资金支付需求的流动性
机构具有流动性是指可以满足机构的支付要求。
流动性风险：是指因流动性不足而导致资产价值在未来产生损失的可能性。
- 市场流动性风险：资产头寸无法轻易变现的风险；
- 融资流动性风险：金融机构没有能力筹集资金满足支付要求（偿还到期债务）的风险。

交易流动性风险度量和控制¶

资产变现能力取决于：
- 资产的价格：在做市商市场，可用中间价（买入价和卖出价的中间值）估计；做市商的买入价是交易员的卖出价；做市商的卖出价是交易员的买入价
- 资产被出售的数量：交易数量较大时，做市商会提高卖出价降低买入价
- 资产变卖的速度
- 市场条件：经济条件差时更难出售
- 即：价格、数量、速度、冲击
若资产具有较好流动性，则可以迅速以有利价格交易一定量的该资产，而不对资产价格产生较大影响。
用价差衡量流动性：
- 用货币价值衡量： $p=卖出价-买入价$ (都是指做市商的)
- 进一步对价差标准化 (买卖价差比率)衡量：$s=\frac{\text{卖出价-买入价}}{\text{中间价}}$（中间价是卖出价和买入价的平均价）
- 交易数量较小时，可假设价差外生：外生流动性
- 交易数量较大时，价差是交易数量的函数（交易本身会对价格产生冲击）：内生流动性
外生流动性：
- 正常市场条件下，价值为 $\alpha_{i}$ 的资产 i 的平仓费用：$LC_i=\frac{p_i}2=\frac{s_i\alpha_i}2$
- 正常市场中组合的平仓价值等于但资产的平仓费用之和 $LC=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\:p_{i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\:s_{i}\alpha_{i}$
- 受压市场条件下 ($s_i$ 偏离均值)组合的平仓费用为 $LC=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}(\mu_{s_i}+\lambda\sigma_{s_i})\alpha_i$ 其中 $\lambda$ 为置信参数，通常取 $3$
$LVaR$ （流动性调整的 $VaR$）综合衡量了市场风险和流动性风险：$LVaR=VaR+LC$
- 正常市场下：$LVaR=VaR+LC=\alpha\Phi(c)^{-1}\sigma+\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}s_i\alpha_i$
- 受压市场下：$LVaR=VaR+LC=\alpha\Phi(c)^{-1}\sigma+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(\mu_{s_{i}}+\lambda\sigma_{s_{i}})\alpha_{i}$
内生流动性：
- 市场价格受到的冲击越大，VaR 的调整幅度应该越大
- 价格弹性 $E=\frac{\Delta P/P}{\Delta N/N}$ 即价格变动相对于交易规模变动的变化比率
- $LVaR=VaR\times(1-\frac{\Delta P}P)=VaR\times(1-E\times\frac{\Delta N}N)$
最优变现策略：交易员想在 n 天内将 V 个单位的头寸平仓，假设 $q_{i}$ 为在第 $i$ 天的交易量
- $x_{i}$ 为第 $i$ 末交易员的头寸，$x_{i}=x_{i-1}-q_{i},x_{0}=V$
- 价差带来的总费用为 $\sum_{i=1}^nq_i\frac{p(q_i)}2$
- 最优变现策略就是最小化 $\min\lambda\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma^2x_i^2}+\sum_{i=1}^nq_i\frac{p(q_i)}2$

融资流动性风险度量和控制¶

金融机构流动性的主要来源：
- 持有的现金和随时可以变现的短期国债；
- 变卖交易账户中头寸的能力；
- 在短时间内拆借现金的能力；
- 在短时间内通过有利的条款以吸引零售和批发存款的能力；
- 在短时间内将资产（例如贷款）进行证券化的能力；
- 由中央银行计入资金。
流动性覆盖率 LCR：用于度量短期（30 日内）银行流动性状况；$\text{流动性覆盖率}=\frac{\text{高流动性资产储备}}{\text{未来30日的资金净流出量}}>100\%$
- 确保单个银行在监管当局设定的流动性严重压力情景下，能够将高流动性资产储备保持在一个合理的水平，这些资产可以通过变现来满足其 30 天期限的流动性需求。
- 高流动性资产储备：现金、政府债券、中央银行票据、存央行准备金等。
- 未来 30 日的资金净流出量：即未来 30 日压力情景下的资金流出和资金流入的差额。
净稳定融资比率 NSFR：用于度量中长期内银行可供使用的稳定资金来源能否支持其资产业务发展。$\text{净稳定融资比率}=\frac{\text{银行可用的稳定资金来源}}{\text{业务所需的稳定资金来源}}>100\%$
- 在持续压力情景下，根据银行一个年度内资产和业务的流动性特征设定最低稳定资金量。

作业题目¶

- 先计算 $VaR=1.645\times{0}.006=0.00987$
- $LVaR=0.00987+\frac{0.01}{2}=0.01487$
- 比值为 $\frac{0.01487}{0.00987}=1.51$
- D
- D
- 价差是外生流动性风险的影响因素
- C
- 由 $E=\frac{\Delta P/P}{\Delta N/N}$ 代入得到 $-0.5=\frac{\Delta P/P}{0.20}$ 进一步有 $\Delta P/P=0.20/-0.5=-0.1$
- $\frac {{LVaR-VaR}} {VaR}=-\frac{\Delta p}{p}=10\%$
- $VaR=(100\times{3}0)\times(2.33\times 0.03-0.02)=149.70$
- $LVaR=149.70+\frac{1}{2}(0.005+2.58\times 0.01)\times{3}000=195.90$
- $VaR=1000\times 80\times 0.0154\times 1.645=2026.64$
- $LVaR=2025.24+\frac{1}{2}\times 0.1\times 1000=2076$
- C，注意是求 LC 不是 LVaR

杂项¶

贝塞尔协议¶

- 预期损失由定价转移
- 未预期损失通过经济资本覆盖
- 极端损失通过保险等覆盖

情景分析与压力测试¶

市场极端情形下对 VaR 的修正 - VaR 模型的不足： - - 压力测试：评估金融机构的产品组合在极端市场条件下的表现

情景分析法¶

评估一个或几个市场变量（市场风险因子）突然从当前市场情景变化到某些极端情景或事件的过程中对资产组合价值变化的影响程度。
情景构造：采用历史上曾出现过的极端变化情景；或者选取市场趋于不利但是变化比较温和的时期，然后将这一时期的变化幅度放大 3-5 杯倍
情景评估：对极端情况下资产组合价值的可能变化进行评估
- 集合历史模拟法和情景评估：假定有 ns 数量的压力测试情景，这些情景所对应的的总概率为 p，nk 数量的通过历史模拟出来的情景，这些情景所对应的的总概率为 1-p，在此基础上计算 VaR

系统化压力测试¶

系统化压力测试：一定条件下，对影响资产组合价值 P 的风险因子采用数学或者统计方法生成大量市场情景，然后评估这些情景对资产组合价值变化的影响，从中搜寻最坏情景 ，即导致资产组合价值损失最大的压力情景。
- 更加彻底、系统化
- 既考虑了风险因子在历史上的极端变动，又考虑到未来潜在的所有可能压力情景，因而本质上是一种前瞻性的情景分析法；

笔记

常用英语词汇¶

绪论¶

衍生品的风险管理希腊字母¶

Delta¶

Gamma¶

Vega¶

Theta¶

Rho¶

作业题目¶

利率风险管理¶

久期模型¶

凸度模型¶

使用久期和凸度控制债券的风险¶

久期缺口模型¶

利率曲线的非平行移动¶

再定价模型¶

作业题目¶

Var¶

应用¶

计算原理¶

单资产正态分布的 Var 计算¶

资产组合的 Var 计算¶

基于方差-协方差法¶

基于历史模拟法¶

Monte Carlo 模拟法¶

基于 Delta-Normal 和 Delta-Gamma¶

作业题目¶

组合风险来源分析与风险预算¶

组合风险来源¶

作业题目¶

回顾测试（评价）¶

作业题目¶

波动率和相关性的估计¶

监测日波动率模型¶

波动率模型的参数估计¶

相关系数的定义和检测¶

作业¶

信用风险¶

违约概率估计¶

历史违约概率¶

用信用溢差来估计违约概率¶

用股价来估计违约概率¶

违约回收率和风险暴露的估计¶

信用风险暴露（EAD）的定义和计量¶

违约损失率（LGD）的定义¶

计量方法¶

信用损失分布¶

cVaR 的计算¶

作业题目¶

操作风险¶

基本指标法 BIA¶

标准法 SA¶

高级计量法 AMA¶

极值理论¶

作业题目¶

流动性风险¶

交易流动性风险度量和控制¶

融资流动性风险度量和控制¶

作业题目¶

杂项¶

贝塞尔协议¶

情景分析与压力测试¶

情景分析法¶

系统化压力测试¶